Question

2．已知點P為拋物線C：y²=4x上一點，記P到此拋物線準線l的距離為d₁，點P到圓x²+y²+4x+8y+16=0上的點的距為d₂，則d₁+d₂的最小值為3．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點和準線方程，設(shè)PK⊥準線l，垂足為K，由拋物線的定義可得|PF|=|PK|，求得圓的圓心和半徑，連接FM，當F，P，M三點共線，取得最小值，運用兩點的距離公式計算即可得到所求最小值．

解答 解：拋物線C：y²=4x的焦點F（1，0），準線l：x=-1，
設(shè)PK⊥準線l，垂足為K，
由拋物線的定義可得|PF|=|PK|，
圓x²+y²+4x+8y+16=0的圓心為M（-2，-4），半徑為r=2，
連接FM，當F，P，M三點共線，取得最小值．
可得d₁+d₂的最小值為
|FM|-r=$\sqrt{（1+2）^{2}+（0+4）^{2}}$-2=3．
故答案為：3．

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，主要是定義的運用，同時考查圓的性質(zhì)，以及三點共線，取得最小值，考查運算能力，屬于中檔題．