Question

7．已知二次函數(shù)f（x）=x²-16x+q+3
（1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍；
（2）問(wèn)：是否存在常數(shù)q（0＜q＜10），使得當(dāng)x∈[q，10]時(shí)，f（x）的最小值為-51？若存在，求出q的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，則$\left\{\begin{array}{l}f（-1）≥0\\ f（1）≤0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}q+20≥0\\ q-12≤0\end{array}\right.$，解得實(shí)數(shù)q的取值范圍；
（2）假定存在滿足條件的q值，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)q進(jìn)行分類討論，最后綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答 解：（1）若二次函數(shù)f（x）=x²-16x+q+3的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線x=8為對(duì)稱軸的拋物線，
故函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上為減函數(shù)，
若函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上存在零點(diǎn)，
則$\left\{\begin{array}{l}f（-1）≥0\\ f（1）≤0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}q+20≥0\\ q-12≤0\end{array}\right.$，
解得：q∈[-20，12]；
（2）若存在常數(shù)q（0＜q＜10），使得當(dāng)x∈[q，10]時(shí)，f（x）的最小值為-51，
當(dāng)0＜q≤8時(shí)，f（8）=q-61=-51，解得：q=10（舍去），
當(dāng)8＜q＜10時(shí)，f（q）=q²-15q+3=-51，解得：q=9，或q=6（舍去），
綜上所述，存在q=9，使得當(dāng)x∈[q，10]時(shí)，f（x）的最小值為-51．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．