Question

6．在正方體OADB-CA′D′B′中，點(diǎn)E是AB與OD的交點(diǎn)，M是OD′與CE的交點(diǎn)，
（1）試分別用向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$表示向量$\overrightarrow{OD′}$和$\overrightarrow{OM}$；
（2）$\overrightarrow{OI}$，$\overrightarrow{OJ}$，$\overrightarrow{OK}$分別為$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$方向上的單位向量，試用$\overrightarrow{OI}$，$\overrightarrow{OJ}$，$\overrightarrow{OK}$表示$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知向量加法的三角形法則，及正方體的幾何特征，可將向量$\overrightarrow{OD′}$和$\overrightarrow{OM}$用基底向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$表示；
（2）根據(jù)與$\overrightarrow{a}$同向的單位的向量表示為：$\frac{\overrightarrow{a}}{\left|\overrightarrow{a}\right|}$，結(jié)合$\overrightarrow{OI}$，$\overrightarrow{OJ}$，$\overrightarrow{OK}$分別為$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$方向上的單位向量，可得答案．

解答 解：（1）由下圖所示：正方體OADB-CA′D′B′中，點(diǎn)E是AB與OD的交點(diǎn)，M是OD′與CE的交點(diǎn)，

則$\overrightarrow{OD′}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DD′}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$；
$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OD′}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$；
（2）∵$\overrightarrow{OI}$，$\overrightarrow{OJ}$，$\overrightarrow{OK}$分別為$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$方向上的單位向量，
∴$\overrightarrow{OA}$=|$\overrightarrow{OA}$|$\overrightarrow{OI}$，$\overrightarrow{OB}$=|$\overrightarrow{OB}$|$\overrightarrow{OJ}$，$\overrightarrow{OC}$=|$\overrightarrow{OC}$|$\overrightarrow{OK}$．

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是空間向量加法的三角形法則，空間向量的基本定理，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．