Question

13．若函數(shù)f（x）=x²+a|x-1|在[-1，+∞）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值的集合是{-2}．

Answer 1

分析 去絕對(duì)值號(hào)可得到$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-a}&{x≥1}\\{{x}^{2}-ax+a}&{x＜1}\end{array}\right.$，由條件f（x）在[-1，+∞）上單調(diào)遞增，從而得出f（x）在[1，+∞），[-1，1）上都單調(diào)遞增，這樣根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性便可得到$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}≤1}\\{\frac{a}{2}≤-1}\end{array}\right.$，從而得到a=-2，這樣即可得出實(shí)數(shù)a的取值的集合．

解答 解：$f（x）={x}^{2}+a|x-1|=\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+ax-a}&{x≥1}\\{{x}^{2}-ax+a}&{x＜1}\end{array}\right.$；
∵f（x）在[-1，+∞）上單調(diào)遞增；
∴f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，∴$-\frac{a}{2}≤1$，即a≥-2；
且f（x）在[-1，1）上單調(diào)遞增，∴$\frac{a}{2}≤-1$，即a≤-2；
∴a=-2；
∴實(shí)數(shù)a的取值的集合是{-2}．
故答案為：{-2}．

點(diǎn)評(píng) 考查含絕對(duì)值函數(shù)的處理方法：去絕對(duì)值號(hào)，以及二次函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的對(duì)稱軸的求法．