Question

9．已知拋物線F的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F（0，1）．
（1）求拋物線F的方程；
（2）若點(diǎn)P為拋物線F的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線F的切線PA與PB，切點(diǎn)分別為A，B．求證：直線AB恒過(guò)某一定點(diǎn)；
（3）分析（2）的條件和結(jié)論，反思其解題過(guò)程，再對(duì)命題（2）進(jìn)行變式和推廣，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)你發(fā)現(xiàn)的真命題，不要求證明（說(shuō)明：本小題將根據(jù)所給出的命題的正確性和一般性酌情給分）

Answer 1

分析 （1）設(shè)出拋物線的方程，根據(jù)焦點(diǎn)的坐標(biāo)，求出拋物線的方程健康；
（2）設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，得到方程組，分別用斜率表示切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，設(shè)出定點(diǎn)的坐標(biāo)并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得證，
（3）根據(jù)（2）的條件和結(jié)論寫(xiě)出即可．

解答 解：（1）由題意設(shè)拋物線的方程為：x²=2py，（p＞0），
由焦點(diǎn)為F（0，1）可知$\frac{p}{2}$=1，∴p=2，
∴所求拋物線方程為：x²=4y；
（2）設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)為（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$），（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$），設(shè)P（m，-1），
易知直線PA、PB斜率必存在，
可設(shè)過(guò)點(diǎn)P的切線方程為：y+1=k（x-m），
由$\left\{\begin{array}{l}{y+1=k（x-m）}\\{{x}^{2}=4y}\end{array}\right.$，消去y并整理得：x²-4kx+4（km+1）=0，…①，
∵切線與拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴△=（4k）²-16（km+1）=0，整理得：k²-mk-1=0，…②，
∴直線PA、PB的斜率k₁，k₂為方程②的兩個(gè)根，故k₁•k₂=-1，
由△=0可得方程①的解為x=2k，
∴x₁=2k₁，x₂=2k₂，
假設(shè)存在一定點(diǎn)，使得直線AB恒過(guò)該定點(diǎn)，
則由拋物線對(duì)稱性可知該定點(diǎn)必在y軸上，
設(shè)該定點(diǎn)為C（0，c），
則$\overrightarrow{CA}$=（x₁，$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$-c），$\overrightarrow{CB}$=（x₂，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$-c），
∴$\overrightarrow{CA}$∥$\overrightarrow{CB}$，
∴x₁（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$-c）-（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$-c）x₂=0，
∴c（x₁-x₂）=$\frac{{{x}_{1}x}_{2}}{4}$（x₂-x₁），
∴x₁≠x₂，
∴c=-$\frac{{{x}_{1}x}_{2}}{4}$=-$\frac{{{4k}_{1}k}_{2}}{4}$=1，
∴直線AB過(guò)定點(diǎn)（0，1），
（3）若點(diǎn)P為直線l：y=t（t＜0）上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線F：x²=2py（p＞0）的切線PA、PB的切點(diǎn)分別是A、B，
則直線AB恒過(guò)定點(diǎn)（0，-t）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系、歸納推理等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般思想等．