15.已知函數(shù)f(x)=3x,且f(a+2)=18,g(x)=3ax-4x的定義域?yàn)閇0,1],求出g(x)的解析式和g(x)的最大值和最小值.

分析 利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出a的值,然后求g(x)的解析式;根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)求最值.

解答 解:∵f(x)=3x,f(a+2)=18,
∴3a+2=9•3a=18,
即3a=2,∴a=log32,
∴g(x)=3ax-4x=(3ax-4x=${3}^{lo{g}_{3}{2}^{x}}$-4x=2x-4x,
∵g(x)=2x-4x=-(2x-$\frac{1}{2}$)2+$\frac{1}{4}$,
∵0≤x≤1,
∴1≤2x≤2,
∴設(shè)t=2x,則1≤t≤2,
則函數(shù)g(x)等價(jià)為h(t)=-(t-$\frac{1}{2}$)2+$\frac{1}{4}$,
∴h(t)單調(diào)遞減,
當(dāng)t=1即x=0時(shí),取得最大值,且為0;
當(dāng)t=2即x=1時(shí),取得最小值,且為-2.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì),利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一元二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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