1.已知函數(shù)f(x)=mx3-nx(m≠0)在x=-1時(shí)取得極值,且f(1)=-1
(1)求常數(shù)m,n的值;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

分析 (1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x),利用f′(-1)=0,f(1)=-1,求出m=$\frac{1}{2}$.n=-$\frac{3}{2}$.得到函數(shù)的解析式.
(2)求出導(dǎo)函數(shù),得到極值點(diǎn),通過導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

解答 (1)函數(shù)f(x)=mx3-nx(m≠0)可得f′(x)=3mx2-n,
在f′(-1)=0,可得3m-n=0,f(1)=-1,可得m-n=-1,解得m=$\frac{1}{2}$.n=-$\frac{3}{2}$.
得$f(x)=\frac{1}{2}{x^3}-\frac{3}{2}x$,…(6分)
(2)由(1)得$f(x)=\frac{1}{2}{x^3}-\frac{3}{2}x$,
所以$f'(x)=\frac{3}{2}{x^2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}(x-1)(x+1)$.
令f'(x)=0得x=±1.
當(dāng)x變化時(shí),f'(x),f(x)隨x的變化情況如下表:

x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)
f'(x)+0-0+
f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增
當(dāng)x=-1時(shí),f(x)有極大值f(-1)=1;
當(dāng)x=1時(shí),f(x)有極小值f(1)=-1.
所以,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-1),(1,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間是(-1,1).

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷與求解,考查計(jì)算能力.

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