Question

1．已知函數(shù)f（x）=mx³-nx（m≠0）在x=-1時(shí)取得極值，且f（1）=-1
（1）求常數(shù)m，n的值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），利用f′（-1）=0，f（1）=-1，求出m=$\frac{1}{2}$．n=-$\frac{3}{2}$．得到函數(shù)的解析式．
（2）求出導(dǎo)函數(shù)，得到極值點(diǎn)，通過導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 （1）函數(shù)f（x）=mx³-nx（m≠0）可得f′（x）=3mx²-n，
在f′（-1）=0，可得3m-n=0，f（1）=-1，可得m-n=-1，解得m=$\frac{1}{2}$．n=-$\frac{3}{2}$．
得$f（x）=\frac{1}{2}{x^3}-\frac{3}{2}x$，…（6分）
（2）由（1）得$f（x）=\frac{1}{2}{x^3}-\frac{3}{2}x$，
所以$f'（x）=\frac{3}{2}{x^2}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}（x-1）（x+1）$．
令f'（x）=0得x=±1．
當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

當(dāng)x=-1時(shí)，f（x）有極大值f（-1）=1；
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有極小值f（1）=-1．
所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1），（1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷與求解，考查計(jì)算能力．