Question

14．已知等腰三角形的周長(zhǎng)是21（定數(shù)），問(wèn)它的腰多長(zhǎng)其面積為最大？并求其最大的面積．

Answer 1

分析 設(shè)△ABC的腰長(zhǎng)為x，底邊長(zhǎng)為2y．（x＞y）．則2x+2y=21，可得S_△ABC=$\frac{1}{2}×2y•\sqrt{{x}^{2}-{y}^{2}}$=$\frac{1}{2}y\sqrt{441-84y}$，令$\sqrt{441-84y}$=t＞0，則y=$\frac{441-{t}^{2}}{84}$．可得S_△ABC=$\frac{1}{168}×（441t-{t}^{3}）$=f（t）．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值即可得出．

解答 解：設(shè)△ABC的腰長(zhǎng)為x，底邊長(zhǎng)為2y．（x＞y）．
則2x+2y=21，
S_△ABC=$\frac{1}{2}×2y•\sqrt{{x}^{2}-{y}^{2}}$=y$\sqrt{（\frac{21-2y}{2}）^{2}-{y}^{2}}$=$\frac{1}{2}y\sqrt{441-84y}$，
令$\sqrt{441-84y}$=t＞0，則y=$\frac{441-{t}^{2}}{84}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{441-{t}^{2}}{84}$t=$\frac{1}{168}×（441t-{t}^{3}）$=f（t）．
f′（t）=$\frac{1}{168}（441-3{t}^{2}）$=$\frac{1}{56}$$（\sqrt{147}+t）（\sqrt{147}-t）$，
令f′（t）＞0，則$0＜t＜\sqrt{147}$，此時(shí)函數(shù)f（t）單調(diào)遞增；令f′（t）＜0，則t$＞\sqrt{147}$，此時(shí)函數(shù)f（t）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)t=$\sqrt{147}$時(shí)，函數(shù)f（t）取得最大值，
∴此時(shí)y=$\frac{441-147}{84}$=$\frac{7}{2}$，x=7．
∴x=7，y=$\frac{7}{2}$時(shí)，△ABC取得面積最大值，為：$\frac{7\sqrt{6}}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等腰三角形的面積計(jì)算公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．