Question

9．如圖，多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是矩形，EF∥AD，FA⊥面ABCD，AB=AF=EF=1，AD=2，AC交BD于點P
（Ⅰ）證明：PF∥面ECD；
（Ⅱ）證明：AE⊥面ECD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取CD中點G，連結EG，PG，推導出四邊形EFPG為平行四邊形，由此能證明FP∥平面ECD．
（Ⅱ）取AD中點M，連結EM，MC，推導出四邊形EFAM為平行四邊形，從而EM∥FA，進而EM⊥平面ABCD，CD⊥平面EFAD，由此能證明AE⊥平面ECD．

解答 證明：（Ⅰ）取CD中點G，連結EG，PG，
∵點P為矩形ABCD對角線交點，
∴在△ACD中，PG$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AD$，
又EF=1，AD=2，EF∥AD，
∴EF$\underset{∥}{=}$PG，∴四邊形EFPG為平行四邊形，
∴FP∥EG，
又FP?平面ECD，EG?平面ECD，
∴FP∥平面ECD．
（Ⅱ）取AD中點M，連結EM，MC，∴EF=AM=1，EF$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}AD$，
∴四邊形EFAM為平行四邊形，∴EM∥FA，
又FA⊥平面ABCD，∴EM⊥平面ABCD，
又MC²=MD²+CD²=2，EM²=1，
∴EC²=MC²+EM²=3，
又AE²=2，AC²=AB²+BC²=1+4=5，
∴AC²=AE²+EC²，∴AE⊥EC，
又CD⊥AD，∴CD⊥平面EFAD，
∴CD⊥AE，又EC∩ED=D，
∴AE⊥平面ECD．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．