Question

14．設(shè)函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-2ax+（2a-1）lnx$，其中a∈R．
（Ⅰ）a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）當(dāng)$a＞\frac{1}{2}$時(shí)，證明對(duì)?x∈（0，2），都有f（x）＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，可得切線的方程；
（Ⅱ）求出導(dǎo)數(shù)，求得極值點(diǎn)1，2a-1，討論①當(dāng)2a-1≤0，②當(dāng)0＜2a-1＜1，③當(dāng)2a-1=1，④當(dāng)2a-1＞1，求得單調(diào)區(qū)間，即可得到結(jié)論；
（Ⅲ）討論①當(dāng)$\frac{1}{2}＜a＜1$時(shí)，②當(dāng)a=1時(shí)，③當(dāng)a＞1時(shí)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性可得（0，2）的最大值小于0，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）a=1時(shí)，$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-2x+lnx$，$f'（x）=x-2+\frac{1}{x}$，
∴f'（1）=0．又$f（1）=-\frac{3}{2}$，
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為$y+\frac{3}{2}=0$．
（Ⅱ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
$f'（x）=x-2a+\frac{2a-1}{x}=\frac{{{x^2}-2ax+2a-1}}{x}=\frac{（x-1）[x-（2a-1）]}{x}$，
令f'（x）=0得x=1或x=2a-1，
①當(dāng)2a-1≤0即$a≤\frac{1}{2}$時(shí)，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）＜0；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f'（x）＞0．
②當(dāng)0＜2a-1＜1即$\frac{1}{2}＜a＜1$時(shí)
當(dāng)x∈（0，2a-1）時(shí)f'（x）＞0；
當(dāng)x∈（2a-1，1）時(shí)f'（x）＜0；當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)f'（x）＞0．
③當(dāng)2a-1=1即a=1時(shí)$f'（x）=\frac{{{{（x-1）}^2}}}{x}≥0$．
④當(dāng)2a-1＞1即a＞1時(shí)，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)f'（x）＞0；
當(dāng)x∈（1，2a-1）時(shí)f'（x）＜0；當(dāng)x∈（2a-1，+∞）時(shí)f'（x）＞0．
綜上所述：當(dāng)$a≤\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），減區(qū)間為（0，1）；
當(dāng)$\frac{1}{2}＜a＜1$時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，2a-1）和（1，+∞）；減區(qū)間為（2a-1，1）；
當(dāng)a=1時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞），無減區(qū)間；
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，1）和（2a-1，+∞），減區(qū)間為（1，2a-1）．
（Ⅲ）證明：①當(dāng)$\frac{1}{2}＜a＜1$時(shí)，由（Ⅱ）知：f（x）在（0，2a-1）上單調(diào)遞增，
在（2a-1，1）上單調(diào)遞減，在（1，2）上單調(diào)遞增，
所以f（x）≤max{f（2a-1），f（2）}．
f（2）=2-4a+（2a-1）ln2=（2a-1）（ln2-2）＜0．
f（2a-1）=$\frac{1}{2}{（2a-1）^2}-2a（2a-1）+（2a-1）ln（2a-1）$=$（2a-1）[{-a-\frac{1}{2}+ln（2a-1）}]$，
記$g（a）=-a-\frac{1}{2}+ln（2a-1）$，$a∈（\frac{1}{2}，1）$，${g^′}（a）=-1+\frac{2}{2a-1}=\frac{{-2（a-\frac{3}{2}）}}{{2（a-\frac{1}{2}）}}$，
又∵$\frac{1}{2}＜a＜1$，∴g'（a）＞0．∴g（a）在$a∈（\frac{1}{2}，1）$上單調(diào)遞增．
∴當(dāng)$a∈（\frac{1}{2}，1）$時(shí)，$g（a）＜g（1）=-\frac{3}{2}＜0$即$-a-\frac{1}{2}+ln（2a-1）＜0$成立．
又∵$a＞\frac{1}{2}$，∴2a-1＞0．所以f（2a-1）＜0．
∴當(dāng)$\frac{1}{2}＜a＜1$時(shí)，x∈（0，2）時(shí)f（x）＜0．
②當(dāng)a=1時(shí)，f（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，∴f（x）＜f（2）=ln2-2＜0．
③當(dāng)a＞1時(shí)，由（Ⅱ）知，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
在（1，2a-1）上單調(diào)遞減，在（2a-1，+∞）上單調(diào)遞增．
故f（x）在（0，2）上只有一個(gè)極大值f（1），
所以當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f（x）≤max{f（1），f（2）}．
$f（1）=\frac{1}{2}-2a=-2（a-\frac{1}{4}）＜0$，
f（2）=2-4a+（2a-1）ln2=（2a-1）（ln2-2）＜0，
∴當(dāng)a＞1時(shí)，x∈（0，2）時(shí)f（x）＜0．
綜①②③知：當(dāng)$a＞\frac{1}{2}$時(shí)，對(duì)?x∈（0，2），都有f（x）＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題、分類討論的思想方法．屬于中檔題．