Question

10．定義在R上的奇函數(shù)f（x），當x∈（0，+∞）時的解析式為f（x）=-x²+4x-3．
（1）求這個函數(shù)在R上的解析式；
（2）作出f（x）的圖象，并根據(jù)圖象直接寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）令x＜0，則-x＞0，由x＞0時，f（x）=x²-2x，可求得f（-x），而f（x）為定義在R上的奇函數(shù)，從而可求得x＜0時的解析式，最后用分段函數(shù)表示函數(shù)f（x）的解析式即可．
（2）畫出圖象，由圖象得到單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）當x＜0時，則-x＞0，
∴f（-x）=-（-x）²+4（-x）-3=-x²-4x-3，
∵定義在R上的奇函數(shù)f（x），
∴f（0）=0，f（-x）=-f（x），
∴f（x）=x²+4x+3，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+4x-3，x＞0}\\{0，x=0}\\{{x}^{2}+4x+3，x＜0}\end{array}\right.$，
（2）其圖象為：

由圖象可知，函數(shù)f（x）在（-∞，-2），（2，+∞）為減函數(shù)．

點評 本題考查奇函數(shù)的解析式的求法，考查函數(shù)的圖象的作法和識別，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．