Question

13．在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，半圓C的極坐標方程為ρ=2cosθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]
（Ⅰ）求C的參數(shù)方程；
（Ⅱ）設點D在半圓C上，半圓C在D處的切線與直線l：y=$\sqrt{3}$x+2垂直，根據(jù)（1）中你得到的參數(shù)方程，求直線CD的傾斜角及D的坐標．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\\{x=ρcosθ}\end{array}\right.$即可得出直角坐標方程，利用cos²t+sin²t=1進而得出參數(shù)方程．
（2）利用半圓C在D處的切線與直線l：y=$\sqrt{3}$x+2垂直，則直線CD的斜率與直線l的斜率相等，即可得出直線CD的傾斜角及D的坐標．

解答 解：（1）由半圓C的極坐標方程為ρ=2cosθ，θ∈[0，$\frac{π}{2}$]，即ρ²=2ρcosθ，可得C的普通方程為（x-1）²+y²=1（0≤y≤1）．
可得C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cost}\\{y=sint}\end{array}\right.$（t為參數(shù)，0≤t≤π）．
（2）設D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）為圓心，1為半徑的上半圓，
∵直線CD的斜率與直線l的斜率相等，∴tant=$\sqrt{3}$，t=$\frac{π}{3}$．
故D的直角坐標為$（1+cos\frac{π}{3}，sin\frac{π}{3}）$，即（$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．

點評 本題考查了把極坐標方程化為直角坐標方程、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓的位置關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．