Question

2．已知等比數(shù)列{a_n}中a₁=3，其前n項(xiàng)和S_n滿足S_n=p•a_n+1-$\frac{3}{2}$（p為非零實(shí)數(shù)）
（I）求p值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè){b_n}是公差為3的等差數(shù)列，b₁=1．現(xiàn)將數(shù)列{a_n}中的a_b1，a_b2，…a_bn…抽去，余下項(xiàng)按原有順序組成一新數(shù)列{c_n}，試求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）通過等比數(shù)列的求和公式及S_n=p•a_n+1-$\frac{3}{2}$可知q=3、p=$\frac{1}{2}$，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（Ⅱ）通過記d_n=${a}_{_{n}}$可知d_n=3•27^n-1，進(jìn)而利用等比數(shù)列的求和公式計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（I）依題意，等比數(shù)列{a_n}的公比q≠1，則S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$=$\frac{{a}_{1}-{a}_{n+1}}{1-q}$，
∴a₁-a_n+1=（1-q）（p•a_n+1-$\frac{3}{2}$），
整理得：a₁=-$\frac{3}{2}$（1-q）、p（q-1）=1，
又∵a₁=3，
∴q=3，p=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=3ⁿ；
（Ⅱ）∵數(shù)列{b_n}是公差為3的等差數(shù)列、b₁=1，
∴b_n=1+3（n-1）=3n-2，
記d_n=${a}_{_{n}}$，則d_n=3^3n-2=3•27^n-1，
即數(shù)列{d_n}是首項(xiàng)為3、公比為27的等比數(shù)列，
∴T_n=S_n-D（$\frac{n}{3}$）=$\frac{1}{2}$•3ⁿ⁺¹-$\frac{3}{2}$+$\frac{3}{26}$-$\frac{3}{26}$•27^m=$\frac{1}{2}$•3ⁿ⁺¹-$\frac{18}{13}$-$\frac{3}{26}$•27^m，
其中（$\frac{n}{3}$）表示$\frac{n}{3}$的整數(shù)部分且記為m，D（n）表示數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．