3.設(shè)x,y為正實數(shù),若x(4x+y)=1-y2.則2x+y的最大值是$\frac{2\sqrt{10}}{5}$.

分析 由條件,配方可得(2x+y)2=1+3xy=1+$\frac{3}{2}$•2xy,運用基本不等式的變形:ab≤($\frac{a+b}{2}$)2,(a,b>0,a=b取得等號),即可得到最大值.

解答 解:x,y為正實數(shù),x(4x+y)=1-y2
即為4x2+y2=1-xy,
即有(2x+y)2=1+3xy=1+$\frac{3}{2}$•2xy
≤1+$\frac{3}{2}$•($\frac{2x+y}{2}$)2,
化為$\frac{5}{8}$(2x+y)2≤1,
解得2x+y≤$\frac{2\sqrt{10}}{5}$.
當且僅當y=2x=$\frac{\sqrt{10}}{5}$時,2x+y取得最大值$\frac{2\sqrt{10}}{5}$.
故答案為:$\frac{2\sqrt{10}}{5}$.

點評 本題考查最值的求法,注意運用配方變形和基本不等式,注意等號成立的條件,考查運算能力,屬于中檔題.

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