Question

15．設(shè)a，b，c均為正數(shù)且a+b+c=9，則$\frac{4}{a}$+$\frac{9}$+$\frac{16}{c}$的最小值為9．

Answer 1

分析 由條件可得（a+b+c）（$\frac{4}{a}$+$\frac{9}$+$\frac{16}{c}$）=[（$\sqrt{a}$）²+（$\sqrt$）²+（$\sqrt{c}$）²][（$\frac{2}{\sqrt{a}}$）²+（$\frac{3}{\sqrt}$）²+（$\frac{4}{\sqrt{c}}$）²]，運(yùn)用柯西不等式，即可得到所求最小值，求得a=2，b=3，c=4時(shí)，取得最小值．

解答 解：a，b，c均為正數(shù)且a+b+c=9，
由柯西不等式，可得
（a+b+c）（$\frac{4}{a}$+$\frac{9}$+$\frac{16}{c}$）=[（$\sqrt{a}$）²+（$\sqrt$）²+（$\sqrt{c}$）²][（$\frac{2}{\sqrt{a}}$）²+（$\frac{3}{\sqrt}$）²+（$\frac{4}{\sqrt{c}}$）²]
≥（$\sqrt{a}$•$\frac{2}{\sqrt{a}}$+$\sqrt$•$\frac{3}{\sqrt}$+$\sqrt{c}$•$\frac{4}{\sqrt{c}}$）²=（2+3+4）²=81．
當(dāng)$\frac{1}{2}$a=$\frac{1}{3}$b=$\frac{1}{4}$c，即a=2，b=3，c=4時(shí)，
$\frac{4}{a}$+$\frac{9}$+$\frac{16}{c}$的最小值為9．
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查最值的求法，注意運(yùn)用變形和柯西不等式，注意等號(hào)成立的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．