Question

13．已知球O的半徑為1，A，B，C三點都在球面上，且OA，OB，OC兩兩垂直，則球心O到平面ABC的距離為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 由已知先求出V_A-OBC=$\frac{1}{6}$，設(shè)球心O到平面ABC的距離為h，則V_O-ABC=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×h$=V_△A-OBC，利用等體積法能求出球心O到平面ABC的距離．

解答 解：∵球O的半徑為1，A，B，C三點都在球面上，且OA，OB，OC兩兩垂直，
∴OA=OB=OC=1，AB=AC=BC=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
V_A-OBC=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×1×1）×1$=$\frac{1}{6}$，
${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}×sin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
設(shè)球心O到平面ABC的距離為h，
則V_O-ABC=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×h$=V_△A-OBC，
∴$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}h=\frac{1}{6}$，解得h=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴球心O到平面ABC的距離為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查球心到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等體積法的合理運用．