Question

4．已知半徑為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$的球內(nèi)接一個圓錐，圓錐的軸截面SAB是等邊三角形，O₁為圓錐底面直徑AB的中點，O為球心，動點P在圓錐底面內(nèi)（包括圓周）運動，若AO⊥OP，則點P形成的軌跡的長度為$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 建立空間直角坐標系，寫出點的坐標，設(shè)出動點的坐標，利用向量的坐標公式求出向量坐標，利用向量垂直的充要條件列出方程求出動點P的軌跡方程，得到P的軌跡是底面圓的弦，利用勾股定理求出弦長．

解答 解：半徑為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$的球內(nèi)接一個圓錐，圓錐的軸截面SAB是等邊三角形，邊長為2，建立空間直角坐標系．設(shè)A（0，-1，0），B（0，1，0），S（0，0，$\sqrt{3}$），O（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），P（x，y，0）．
于是有$\overrightarrow{AO}$=（0，1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），$\overrightarrow{OP}$=（x，y，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）
由于AO⊥OP，所以（0，1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$）•（x，y，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=0，
即y=$\frac{1}{3}$，此為P點形成的軌跡方程，其在底面圓盤內(nèi)的長度為2$\sqrt{1-\frac{1}{9}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$． 
故答案為：$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查通過建立坐標系，將求軌跡問題轉(zhuǎn)化為求軌跡方程、考查向量的數(shù)量積公式、向量垂直的充要條件、圓的弦長的求法．屬中檔題．