Question

3．設f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2sin$\frac{x}{2}$）．
（1）求這個函數(shù)的單調遞減區(qū)間；
（2）求使f（x）＜0的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的定義域，利用復合函數(shù)的單調性之間的關系進行求解即可．
（2）利用對數(shù)函數(shù)的圖象和性質可得sin$\frac{x}{2}$$＞\frac{1}{2}$，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質可得：2kπ+$\frac{π}{6}$＜$\frac{x}{2}$＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，即可解得使f（x）＜0的x的取值范圍．

解答 解：（1）要使函數(shù)有意義，則2sin$\frac{x}{2}$＞0，即x∈（4kπ，4kπ+2π），k∈Z．
設t=2sin$\frac{x}{2}$，則當x∈（4kπ，4kπ+π）時，函數(shù)t=2sin$\frac{x}{2}$單調遞增，
當x∈（4kπ+π，4kπ+2π）時，函數(shù)t=2sin$\frac{x}{2}$單調遞減．
∵函數(shù)y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$t，在定義域上為單調遞減函數(shù)，
∴根據(jù)復合函數(shù)的單調性之間的關系可知，
當x∈（4kπ，4kπ+π）時，函數(shù)f（x）單調遞減，
即函數(shù)f（x）的遞減區(qū)間為（4kπ，4kπ+π），k∈Z．
（2）∵f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（2sin$\frac{x}{2}$）＜0，
∴2sin$\frac{x}{2}$＞1，即：sin$\frac{x}{2}$$＞\frac{1}{2}$，
∴解得：2kπ+$\frac{π}{6}$＜$\frac{x}{2}$＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z．
∴x∈（4kπ+$\frac{π}{3}$，4kπ+$\frac{5π}{3}$），k∈Z．

點評 本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象和性質，對數(shù)函數(shù)的圖象和性質，考查了復合函數(shù)單調性的判斷，利用復合函數(shù)同增異減的原則進行判斷即可，注意要先求出函數(shù)的定義域，屬于中檔題．