Question

已知拋物線x²=4y，過原點作斜率為1的直線交拋物線于第一象限內(nèi)一點P₁，又過點P₁作斜率為的直線交拋物線于點P₂，再過P₂作斜率為的直線交拋物線于點P₃，﹣2＜x＜4，如此繼續(xù)．一般地，過點3＜x＜5作斜率為的直線交拋物線于點P_n+1，設(shè)點P_n（x_n，y_n）．

（1）求x₃﹣x₁的值；

（2）令b_n=x_2n+1﹣x_2n﹣1，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；

（3）記P_奇（x_奇，y_奇）為點列P₁，P₃，…，P_2n﹣1，…的極限點，求點P_奇的坐標．

Answer 1

解答： （1）解：直線OP₁的方程為y=x，

由　解得P₁（4，4），

直線P₂P₁的方程為y﹣4=（x﹣4），即y=x+2，

由　得P₂（﹣2，1），

直線P₂P₃的方程為y﹣1=（x+2），即y=x+，

由　解得，P₃（3，），

所以x₃﹣x₁=3﹣4=﹣1．  

（2）證明：因為設(shè)點P_n（x_n，）．P_n+1（x_n+1，），

由拋物線的方程和斜率公式得到，

，

所以x_n+x_n﹣1=，兩式相減得x_n+1﹣x_n﹣1=﹣，

用2n代換n得b_n=x_2n+1﹣x_2n﹣1=﹣，

由（1）知，當n=1時，上式成立，

所以{b_n}是等比數(shù)列，通項公式為b_n=﹣；

（3）解：由得，，，…，

，

以上各式相加得x_2n+1=+，

所以x_奇=，y_奇=x_奇²=，

即點P奇的坐標為（，）．