Question

已知函數(shù)f（x）=sin

x

2

cos

x

2

-cos²

x

2

+

1

2

，x∈R
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若已知cos（β-α）=

4

5

，cos（β+α）=-

4

5

，（0＜α＜β≤

π

2

）求f（β+

π

4

）的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）直接利用二倍角公式以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)表達(dá)式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，然后求解函數(shù)f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）通過(guò)cos（β-α）=

4

5

，cos（β+α）=-

4

5

，利用兩角和與差的余弦函數(shù)，結(jié)合（0＜α＜β≤

π

2

）求出β，即可求f（β+

π

4

）的值．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sin

x

2

cos

x

2

-cos²

x

2

+

1

2

=

1

2

sinx-

1+cosx

2

+

1

2

=

2

2

sin(x-

π

4

)，∴T=2π．
（Ⅱ）cos（β-α）=cosαcosβ+sinαsinβ=

4

5

，…①．
cos（β+α）=cosαcosβ-sinαsinβ=-

4

5

，…②．
∴cosαcosβ=0，
∵0＜α＜β≤

π

2

，
∴β=

π

2

，
∴f（β+

π

4

）=

2

2

sin(

π

2

+

π

4

-

π

4

)=

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，二倍角公式的應(yīng)用，函數(shù)的周期以及三角函數(shù)值的求法，考查計(jì)算能力．