Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²-（a+1）x．
①當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的極值；
②若f（x）在[

2

3

+∞）上是遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：①當(dāng)a=1時，f′（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1）．令f′（x）=0，解得x=-1，2．列表研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出極值；
②f（x）在[

2

3

，+∞）上是遞增函數(shù)，可得f′（x）≥0在[

2

3

，+∞）上恒成立，即a≤x-1在[

2

3

，+∞）上恒成立．∴a≤（x-1）_min，x∈[

2

3

，+∞）．

解答： 解：①∵函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

1

2

ax²-（a+1）x，∴f′（x）=x²-ax-（a+1），
當(dāng)a=1時，f′（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1）．
令f′（x）=0，解得x=-1，2．
列表如下：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，2）	2	（2，+∞）
y′	+	0	-	0	+
y	增	極大值	減	極小值	增

當(dāng)x=-1時取得極大值，為

7

6

；當(dāng)x=2時取得極小值，為-

10

3

．
②∵f（x）在[

2

3

，+∞）上是遞增函數(shù)，∴f′（x）≥0在[

2

3

，+∞）上恒成立，
即x²-ax-（a+1）≥0在[

2

3

，+∞）上恒成立．即a≤x-1在[

2

3

，+∞）上恒成立．
∵y=x-1在[

2

3

，+∞）上單調(diào)遞增．∴y≥

2

3

-1=-

1

3

．
∴a≤-

1

3

．
∴實數(shù)a的取值范圍是a≤-

1

3

．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．