Question

6．點D是△ABC中AB邊的中點，CA=CB，E是CD的中點，AE的延長線交BC于F，記$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow$，則$\overrightarrow{AF}$=（　�。�

• A． $\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$
• B． $\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow$
• C． $\frac{2}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow$
• D． $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}\overrightarrow$

Answer 1

分析 可畫出圖形，由條件及圖形便可得出$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow$，$\overrightarrow{AF}$與$\overrightarrow{AE}$共線，從而得到$\overrightarrow{AF}=\frac{k}{2}\overrightarrow{a}+\frac{k}{2}\overrightarrow$，而由B，F(xiàn)，C三點共線便可以得出$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{AB}+（1-λ）\overrightarrow{AC}=\frac{1+λ}{2}\overrightarrow{a}+（1-λ）\overrightarrow$，從而根據(jù)平面向量基本定理便可得出$\frac{1+λ}{2}=1-λ$，這樣即可解出λ，從而可用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$表示出$\overrightarrow{AF}$．

解答 解：如圖，根據(jù)條件：
$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{a}+\frac{1}{2}\overrightarrow$；
∴$\overrightarrow{AF}=k\overrightarrow{AE}=\frac{k}{2}\overrightarrow{a}+\frac{k}{2}\overrightarrow$；
B，F(xiàn)，C三點共線，∴$\overrightarrow{AF}=λ\overrightarrow{AB}+（1-λ）\overrightarrow{AC}$=$λ\overrightarrow{AB}+（1-λ）（\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}）$=$\frac{1+λ}{2}\overrightarrow{AB}+（1-λ）\overrightarrow{DC}=\frac{1+λ}{2}\overrightarrow{a}+（1-λ）\overrightarrow$；
∴$\frac{1+λ}{2}=1-λ$；
解得$λ=\frac{1}{3}$；
∴$\overrightarrow{AF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{a}+\frac{2}{3}\overrightarrow$．
故選：C．

點評 考查向量加法和數(shù)乘的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運算，共線向量基本定理，平面向量基本定理．