Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）當(dāng)時(shí)，判斷的奇偶性，并說(shuō)明理由；

（2）當(dāng)，時(shí)，若，求的值；

（3）若，且對(duì)任意不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（2）或（3）

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)；當(dāng)時(shí)，為非奇非偶函數(shù).運(yùn)用奇偶性的定義，即可得到結(jié)論；

（2）當(dāng)，時(shí)，若，即為，當(dāng)，當(dāng)，去掉絕對(duì)值，由指數(shù)方程的解法，即可得到所求的值；

（3）只需考慮的情況，此時(shí)，不等式即，即，故.利用函數(shù)的單調(diào)性求得和，從而求得的取值范圍.

解：（1）當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，為奇函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，為非奇非偶函數(shù).

理由：當(dāng)時(shí)，，

，

為奇函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，

且，則為非奇非偶函數(shù)；

（2）當(dāng)，時(shí)，若，

即為，

當(dāng)，即時(shí)，，

解方程可得或（舍去）；

當(dāng)，即時(shí)，，

解方程可得.

則或；

（3）當(dāng)時(shí)，不等式即，顯然恒成立，

故只需考慮的情況，

此時(shí)，不等式即，即，

故.

由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，

故.

對(duì)于函數(shù)，，

當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值.

此時(shí)，要使存在，必須有，

即，此時(shí)的取值范圍是.