Question

9．己知函數(shù)f（x）=2x+1，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=f（n²）-1，數(shù)列{b_n}滿足b_n=f（b_n-1），且b₁=1．
（1）分別求{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記c_n=$\frac{{a}_{n}}{2{（b}_{n}+1）}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

分析 （1）分類討論求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，由構(gòu)造法可得{b_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，從而求得；
（2）化簡(jiǎn)c_n=$\frac{{a}_{n}}{2{（b}_{n}+1）}$=$\frac{4n-2}{{2}^{n+1}}$，從而利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和即可．

解答 解：（1）由題意知，S_n=f（n²）-1=2n²+1-1=2n²，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=4n-2，
當(dāng)n=1時(shí)也成立，
故a_n=4n-2；
∵b_n=f（b_n-1）=2b_n-1+1，
∴b_n+1=2（b_n-1+1），
故{b_n+1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
故b_n+1=2ⁿ，
故b_n=2ⁿ-1．
（2）c_n=$\frac{{a}_{n}}{2{（b}_{n}+1）}$=$\frac{4n-2}{{2}^{n+1}}$，設(shè){c_n}的前n項(xiàng)和T_n，
故T_n=$\frac{2}{4}$+$\frac{6}{8}$+…+$\frac{4n-2}{{2}^{n+1}}$，
2T_n=$\frac{2}{2}$+$\frac{6}{4}$+$\frac{10}{8}$+…+$\frac{4n-2}{{2}^{n}}$，
故T_n=1+$\frac{4}{4}$+$\frac{4}{8}$+…+$\frac{4}{{2}^{n}}$-$\frac{4n-2}{{2}^{n+1}}$=3-$\frac{2}{{2}^{n-1}}$-$\frac{4n-2}{{2}^{n+1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時(shí)考查了分類討論的思想及整體思想的應(yīng)用，同時(shí)考查了構(gòu)造法與錯(cuò)位相減法的應(yīng)用．