Question

4．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC=6，AD=8，BC=10，∠PAD=45°，E為PA的中點．
（1）求證：DE∥面PBC；
（2）求三棱錐E-PBC的體積．

Answer 1

分析 （1）過C作CG⊥AB與G，取PB的中點F，連結(jié)EF，CF．由勾股定理計算BG，得出CD$\stackrel{∥}{=}\frac{1}{2}AB\stackrel{∥}{=}EF$，于是四邊形CDEF是平行四邊形，得出DE∥CF，從而DE∥平面PBC；
（2）連結(jié)CE，BE，求出PD，證明CD⊥平面PAD，則V_E-PBC=V_P-ABCD-V_E-ABCD-V_C-PDE．

解答 （1）證明：過C作CG⊥AB與G，取PB的中點F，連結(jié)EF，CF．
∵AB∥CD，AD⊥AB，CG⊥AB，
∴四邊形ADCG是矩形，∴CG=AD=8，AG=CD=6，
∴BG=$\sqrt{B{C}^{2}-C{G}^{2}}$=6，
∴CD$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}BC$．
∵E，F(xiàn)分別是PA，PB的中點，∴EF$\stackrel{∥}{=}$$\frac{1}{2}$AB，
∴EF$\stackrel{∥}{=}$CD，
∴四邊形CDEF是平行四邊形，
∴DE∥CF，又DE?平面PBC，CF?平面PBC，
∴DE∥平面PBC．
（2）∵PD⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PD⊥CD，PD⊥AD．
又CD⊥AD，AP∩PD=D，AP?平面PAD，AD?平面PAD，
∴CD⊥平面PAD．
∵∠PAD=45°，∴PD=AD=8，
∵E是PA的中點，∴E到平面ABCD的距離h=$\frac{1}{2}PD$=4．
S_△PDE=$\frac{1}{2}{S}_{△PAD}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×8×8$=16．
∴V_C-PDE=$\frac{1}{3}{S}_{△PDE}•CD$=$\frac{1}{3}×16×6$=32．
V_E-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}•h$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（6+12）×8×4$=96．
V_P-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{梯形ABCD}•PD$=2V_E-ABCD=192．
∴V_E-PBC=V_P-ABCD-V_E-ABCD-V_C-PDE=192-96-32=64．

點評 本題考查了線面平行的判定，線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．