Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，并且S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+a對(duì)任意的正整數(shù)n都成立，其中a₁=2，a₂=1．
（1）求a的值；
（2）求S_n．

Answer 1

分析 （1）S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+a對(duì)任意的正整數(shù)n都成立，其中a₁=2，a₂=1．當(dāng)n=1時(shí)，S₂=$\frac{1}{2}{S}_{1}$+a，解得a即可．
（2）由S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+2，變形S_n+1-4=$\frac{1}{2}（{S}_{n}-4）$，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．

解答 解：（1）S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+a對(duì)任意的正整數(shù)n都成立，其中a₁=2，a₂=1．
∴當(dāng)n=1時(shí)，S₂=$\frac{1}{2}{S}_{1}$+a，∴1+2=$\frac{1}{2}×2$+a，解得a=2．
（2）由S_n+1=$\frac{1}{2}$S_n+2，變形S_n+1-4=$\frac{1}{2}（{S}_{n}-4）$，
∴數(shù)列{S_n-4}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為-2，公比為$\frac{1}{2}$．
∴S_n-4=$-2×（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴S_n=4-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系的應(yīng)用、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．