【題目】已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,焦距為2,拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過的左焦點(diǎn).
(1)求與的方程;
(2)直線經(jīng)過的上頂點(diǎn)且與交于,兩點(diǎn),直線,與分別交于點(diǎn)(異于點(diǎn)),(異于點(diǎn)),證明:直線的斜率為定值.
【答案】(1)的方程為,的方程為.(2)證明見解析
【解析】
(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,焦距為,在橢圓中,求出的值,寫出橢圓方程;寫出拋物線的準(zhǔn)線方程,代入點(diǎn)坐標(biāo),求出的值,寫出拋物線方程.
(2)先探究直線的斜率是否存在,寫出直線方程,再與曲線方程聯(lián)立求解.
(1)解:由題意,得,,所以,,所以,所以的方程為,
所以,由于的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn),所以,
所以,故的方程為.
(2)證明:由題意知,的斜率存在,故設(shè)直線的方程為,
由,得.
設(shè),,則,
即且,,.
又直線的方程為,
由得,
所以,所以,從而的坐標(biāo)為.
同理可得的坐標(biāo)為,
所以為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題:關(guān)于的不等式無解;命題:指數(shù)函數(shù)是上的增函數(shù).
(1)若命題為真命題,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若滿足為假命題且為真命題的實(shí)數(shù)取值范圍是集合,集合,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若存在實(shí)數(shù),使得,求正實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某“雙一流”大學(xué)專業(yè)獎(jiǎng)學(xué)金是以所學(xué)專業(yè)各科考試成績(jī)作為評(píng)選依據(jù),分為專業(yè)一等獎(jiǎng)學(xué)金(獎(jiǎng)金額元)、專業(yè)二等獎(jiǎng)學(xué)金(獎(jiǎng)金額元)及專業(yè)三等獎(jiǎng)學(xué)金(獎(jiǎng)金額元),且專業(yè)獎(jiǎng)學(xué)金每個(gè)學(xué)生一年最多只能獲得一次.圖(1)是統(tǒng)計(jì)了該校年名學(xué)生周課外平均學(xué)習(xí)時(shí)間頻率分布直方圖,圖(2)是這名學(xué)生在年周課外平均學(xué)習(xí)時(shí)間段獲得專業(yè)獎(jiǎng)學(xué)金的頻率柱狀圖.
(Ⅰ)求這名學(xué)生中獲得專業(yè)三等獎(jiǎng)學(xué)金的人數(shù);
(Ⅱ)若周課外平均學(xué)習(xí)時(shí)間超過小時(shí)稱為“努力型”學(xué)生,否則稱為“非努力型”學(xué)生,列聯(lián)表并判斷是否有的把握認(rèn)為該校學(xué)生獲得專業(yè)一、二等獎(jiǎng)學(xué)金與是否是“努力型”學(xué)生有關(guān)?
(Ⅲ)若以頻率作為概率,從該校任選一名學(xué)生,記該學(xué)生年獲得的專業(yè)獎(jiǎng)學(xué)金額為隨機(jī)變量,求隨機(jī)變量的分布列和期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱中,,E,F分別為線段 的中點(diǎn).
(1)求證:面;
(2)求證:面;
(3)在線段上是否存在一點(diǎn)G,使平面平面,證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),在內(nèi)是否存在一實(shí)數(shù),使成立?請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校高三年級(jí)有學(xué)生500人,其中男生300人,女生200人,為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)是否與性別有關(guān),現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從中抽取了100名學(xué)生,先統(tǒng)計(jì)了他們期中考試的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù),然后按性別分為男、女兩組,再將兩組學(xué)生的分?jǐn)?shù)分成5組:[100,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150]分別加以統(tǒng)計(jì),得到如圖所示的頻率分布直方圖.
(1)從樣本中分?jǐn)?shù)小于110分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求兩人恰好為一男一女的概率;
(2)若規(guī)定分?jǐn)?shù)不小于130分的學(xué)生為“數(shù)學(xué)尖子生”,請(qǐng)你根據(jù)已知條件完成2×2列聯(lián)表,并判斷是否有90%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)尖子生與性別有關(guān)”?
附:
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在中老年人群體中,腸胃病是一種高發(fā)性疾病某醫(yī)學(xué)小組為了解腸胃病與運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系,調(diào)查了50位中老年人每周運(yùn)動(dòng)的總時(shí)長(zhǎng)(單位:小時(shí)),將數(shù)據(jù)分成[0,4),[4,8),[8,14),[14,16),[16,20),[20,24]6組進(jìn)行統(tǒng)計(jì),并繪制出如圖所示的柱形圖.
圖中縱軸的數(shù)字表示對(duì)應(yīng)區(qū)間的人數(shù)現(xiàn)規(guī)定:每周運(yùn)動(dòng)的總時(shí)長(zhǎng)少于14小時(shí)為運(yùn)動(dòng)較少.
每周運(yùn)動(dòng)的總時(shí)長(zhǎng)不少于14小時(shí)為運(yùn)動(dòng)較多.
(1)根據(jù)題意,完成下面的2×2列聯(lián)表:
有腸胃病 | 無腸胃病 | 總計(jì) | |
運(yùn)動(dòng)較多 | |||
運(yùn)動(dòng)較少 | |||
總計(jì) |
(2)能否有99.9%的把握認(rèn)為中老年人是否有腸胃病與運(yùn)動(dòng)有關(guān)?
附:K2(n=a+b+c+d)
P(K2≥k) | 0.0.50 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2020年開始,國(guó)家逐步推行全新的高考制度,新高考不再分文理科,采用3+3模式,其中語文、數(shù)學(xué)、外語三科為必考科目,滿分各150分,另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專業(yè)的要求,結(jié)合自己的興趣愛好等因素,在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門科目中自選3門參加考試(6選3),每科目滿分100分.為了應(yīng)對(duì)新高考,某高中從高一年級(jí)1000名學(xué)生(其中男生550人,女生450人)中,根據(jù)性別分層,采用分層抽樣的方法抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查.
(1)已知抽取的名學(xué)生中含男生55人,求的值;
(2)為了了解學(xué)生對(duì)自選科目中“物理”和“地理”兩個(gè)科目的選課意向,對(duì)在(1)條件下抽取到的名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查(假定每名學(xué)生在這兩個(gè)科目中必須選擇一個(gè)科目且只能選擇一個(gè)科目),如表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的列聯(lián)表,請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷是否有的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)?說明你的理由;
選擇“物理” | 選擇“地理” | 總計(jì) | |
男生 | 10 | ||
女生 | 25 | ||
總計(jì) |
(3)在抽取到的選擇“地理”的學(xué)生中按分層抽樣抽取6名,再?gòu)倪@6名學(xué)生中隨機(jī)抽取3人,設(shè)這3人中女生的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附參考公式及數(shù)據(jù):,其中.
0.05 | 0.01 | |
3.841 | 6.635 |
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