Question

14．已知橢圓方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）離心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$有頂點(diǎn)B₁（0，1）．
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）若直線l過橢圓的右焦點(diǎn)F₂，且l⊥x軸，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的長(zhǎng)．
（3）若直線l過橢圓的右焦點(diǎn)F₂的任一直線，交橢圓于A、B兩點(diǎn)，S（$\frac{5}{4}$，0），求證：$\overrightarrow{SA}$•$\overrightarrow{SB}$為定值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得即可得出；
（2）F₂（1，0），把x=1代入橢圓方程可得：$\frac{1}{2}+{y}^{2}$=1，解得y即可得出；
（3）當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，A$（-\sqrt{2}，0）$，B$（\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{SA}$•$\overrightarrow{SB}$=-$\frac{7}{16}$．當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l方程：my=x-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
與橢圓方程聯(lián)立化為（m²+2）y²+2my-1=0，把根與系數(shù)的關(guān)系代入$\overrightarrow{SA}$•$\overrightarrow{SB}$=$（{x}_{1}-\frac{5}{4}，{y}_{1}）•$$（{x}_{2}-\frac{5}{4}，{y}_{2}）$，化簡(jiǎn)整理即可得出．

解答 （1）解：由題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得b=1=c，a²=2．
∴橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）解：F₂（1，0），把x=1代入橢圓方程可得：$\frac{1}{2}+{y}^{2}$=1，解得y=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴|AB|=$\sqrt{2}$．
（3）證明：當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，A$（-\sqrt{2}，0）$，B$（\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{SA}$•$\overrightarrow{SB}$=$（-\frac{5}{4}）^{2}-（\sqrt{2}）^{2}$=-$\frac{7}{16}$．
當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線l方程：my=x-1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為（m²+2）y²+2my-1=0，
∴y₁+y₂=$\frac{-2m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=$\frac{-1}{{m}^{2}+2}$．
$\overrightarrow{SA}$•$\overrightarrow{SB}$=$（{x}_{1}-\frac{5}{4}，{y}_{1}）•$$（{x}_{2}-\frac{5}{4}，{y}_{2}）$
=$（{x}_{1}-\frac{5}{4}）（{x}_{2}-\frac{5}{4}）$+y₁y₂
=$（m{y}_{1}-\frac{1}{4}）（m{y}_{2}-\frac{1}{4}）$+y₁y₂
=（m²+1）y₁y₂-$\frac{m}{4}（{y}_{1}+{y}_{2}）$+$\frac{1}{16}$
=$\frac{-（{m}^{2}+1）}{{m}^{2}+2}$+$\frac{{m}^{2}}{2（{m}^{2}+2）}$+$\frac{1}{16}$
=-$\frac{7}{16}$．
綜上可得：$\overrightarrow{SA}$•$\overrightarrow{SB}$=-$\frac{7}{16}$為定值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．