Question

9．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且|PF₁|=λ|PF₂|（λ＞1），$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$，則λ=2+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由雙曲線的定義可得，|PF₁|-|PF₂|=2a，|PF₁|=λ|PF₂|，可得|PF₁|，|PF₂|，再由勾股定理和離心率公式，可得
λ²-4λ+1=0，解方程可得所求值．

解答 解：由雙曲線的定義可得，|PF₁|-|PF₂|=2a，
|PF₁|=λ|PF₂|，可得|PF₁|=$\frac{2aλ}{λ-1}$，
|PF₂|=$\frac{2a}{λ-1}$，
由雙曲線的離心率為$\sqrt{2}$，可得c=$\sqrt{2}$a=$\sqrt{2}$b，
由$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，可得PF₁⊥PF₂，
即有|PF₁|²+|PF₂|²=4c²=8a²，
即有$\frac{4{a}^{2}{λ}^{2}}{（λ-1）^{2}}$+$\frac{4{a}^{2}}{（λ-1）^{2}}$=8a²，
即為λ²-4λ+1=0，
解得λ=2+$\sqrt{3}$（2-$\sqrt{3}$舍去）．
故答案為：2+$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用雙曲線的定義和離心率公式、勾股定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．