Question

6．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（Ⅱ）設b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，若對任意n∈N^*，λ＞T_n都成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）化簡可得4S_n=（a_n+1）²，從而分類討論可判斷數(shù)列{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，從而解得；
（Ⅱ）由（I）知，b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），從而利用裂項求其前n項和，化恒成立問題為最值問題．

解答 解：（I）∵2$\sqrt{{S}_{n}}$=a_n+1，
∴4S_n=（a_n+1）²，
當n=1時，4a₁=（a₁+1）²，
解得，a₁=1；
當n≥2時，4S_n=（a_n+1）²，4S_n-1=（a_n-1+1）²，
故4a_n=（a_n+1）²-（a_n-1+1）²，
化簡可得，
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n-a_n-1-2=0，
故數(shù)列{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
故其通項公式為a_n=1+2（n-1）=2n-1；
（Ⅱ）由（I）知，
b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
故T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$＜$\frac{1}{2}$，
故若對任意n∈N^*，λ＞T_n都成立，
則λ≥$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的判斷與應用，同時考查了分類討論的思想應用及恒成立問題與最值問題的應用，同時考查了裂項求和法的應用．