Question

13．已知S_n是數列{a_n}的前n項和，且a₁=1，{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首項為1，公差為2的等差數列，求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 根據等差數列的性質，結合a_n=S_n-S_n-1的關系，進行求解即可．

解答 解：∵a₁=1，{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是首項為1，公差為2的等差數列，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
即S_n=$\frac{1}{2n-1}$，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n-3}$=$-\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}$，
∵a₁=1不滿足a_n=$-\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}$，
∴數列{a_n}的通項公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，}&{n=1}\\{-\frac{2}{（2n-1）（2n-3）}，}&{n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查數列通項公式的求解，根據等差數列的通項公式求出S_n的表達式是解決本題的關鍵．