Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-ax．
（1）當(dāng)a≥1時(shí)，證明函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，由f′（x）=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$-a得f′（x）＜0在區(qū)間[0，+∞）上恒成立，即可得證．
（2）利用函數(shù)與方程的關(guān)系將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值的大小比較，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．

解答 證明：（1）∵f（x）=$\sqrt{x^2+1}-ax$，
∴f′（x）=$\frac{x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$-a=$\frac{x-a\sqrt{{x}^{2}+1}}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$
∵a≥1，x∈[0，+∞），
∴$\frac{x-a\sqrt{{x}^{2}+1}}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$＜$\frac{x-a\sqrt{{x}^{2}}}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$=$\frac{（1-a）x}{\sqrt{{x}^{2}+1}}$＜0，
∴f′（x）＜0在區(qū)間[0，+∞）上恒成立，
∴當(dāng)a≥1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．
（2）當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）≥0恒成立，
即$\sqrt{{x}^{2}+1}$-ax≥0，即$\sqrt{{x}^{2}+1}$≥ax．
設(shè)y=g（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，y=ax，
則g（x）的軌跡是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的上支，
當(dāng)a≤0時(shí)，直線y=ax在[0，2]上滿足條件$\sqrt{{x}^{2}+1}$≥ax．
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y=ax單調(diào)遞增，當(dāng)x=2時(shí)，y=2a，此時(shí)g（2）=$\sqrt{{2}^{2}+1}$=$\sqrt{5}$，
要使$\sqrt{{x}^{2}+1}$≥ax在[0，2]上恒成立，則2a≤$\sqrt{5}$，即0＜a≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
綜上a≤$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性判斷，和不等式恒成立問題，函數(shù)單調(diào)性的證明方法有定義法和導(dǎo)數(shù)法，本題采用導(dǎo)數(shù)法證明較好．利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的大小是解決本題的關(guān)鍵．