Question

8．已知函數(shù)f（x）=4m（cos²（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）+n-2m（m≠0）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期T；
（2）若m=1，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最小值是1-$\sqrt{3}$，求n；
（3）若n=1，函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最小值是1-$\sqrt{3}$，求m．

Answer 1

分析 （1）由條件利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性，求得函數(shù)f（x）的最小正周期T．
（2）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得n的值．
（3）由條件利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得m的值．

解答 解：（1）由于函數(shù)f（x）=4m（cos²（x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x）+n-2m=2m•cos（2x+$\frac{π}{3}$）+2m$\sqrt{3}$sin2x+n
=2m•[$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x]+2m$\sqrt{3}$sin2x+n=m•cos2x+$\sqrt{3}$m•sin2x+n=2m•sin（2x+$\frac{π}{6}$）+n，
故它的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π．
（2）若m=1，函數(shù)f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+n，在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$ $\frac{2π}{3}$]，
故函數(shù)f（x）的最小值是-$\sqrt{3}$+n=1-$\sqrt{3}$，求得n=1．
（3）若n=1，函數(shù)f（x）=2m•sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1在區(qū)間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$ $\frac{2π}{3}$]，
函數(shù)的最小值是-2m+1=1-$\sqrt{3}$，求得m=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、定義域和值域，屬于中檔題．