Question

6．設(shè)集合A為不等式1og_x（5x²-8x+3）＞2的解集，集合B為不等式2${\;}^{{x}^{2}-2x-{k}^{4}}$≥$\frac{1}{2}$的解集．
（1）求集合A，B；
（2）如果A⊆B，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）討論x＞1與1＞x＞0時(shí)，不等式1og_x（5x²-8x+3）＞2化為等價(jià)的不等式，求出解集A；再把不等式2${\;}^{{x}^{2}-2x-{k}^{4}}$≥$\frac{1}{2}$化為等價(jià)的不等式x²-2x-k⁴≥-1，求出解集B；
（2）當(dāng)A⊆B時(shí)，列出應(yīng)滿足條件的不等式，求出k的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)x＞1時(shí)，不等式1og_x（5x²-8x+3）＞2可化為
5x²-8x+3＞x²，即4x²-8x+3＞0，
解得x＜$\frac{1}{2}$或x＞$\frac{3}{2}$，
又5x²-8x+3＞0，解得x＜$\frac{3}{5}$或x＞1，
∴取x＞$\frac{3}{2}$；
當(dāng)1＞x＞0時(shí)，不等式1og_x（5x²-8x+3）＞2可化為
5x²-8x+3＜x²，即4x²-8x+3＜0，
解得$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{2}$，
又5x²-8x+3＞0，解得x＜$\frac{3}{5}$或x＞1，
∴取$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{3}{5}$；
∴該不等式的解集為A=（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{5}$）∪（$\frac{3}{2}$，+∞）；
又不等式2${\;}^{{x}^{2}-2x-{k}^{4}}$≥$\frac{1}{2}$可化為
2${\;}^{{x}^{2}-2x-{k}^{4}}$≥2^-1，即x²-2x-k⁴≥-1，
整理得x²-2x+1≥k⁴，
解得x≤1-k²或x≥1+k²，
∴該不等式的解集為B=（-∞，1-k²]∪[1+k²，+∞）；
（2）當(dāng)A⊆B時(shí)，應(yīng)滿足1+k²≤$\frac{1}{2}$或$\left\{\begin{array}{l}{1{+k}^{2}≤\frac{3}{2}}\\{1{-k}^{2}≥\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得k∈∅或-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤k≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴實(shí)數(shù)k的取值范圍是[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求不等式的解集的應(yīng)用問題，也考查了集合的運(yùn)算與應(yīng)用問題，是綜合性題目．