Question

7．直線(xiàn)ax+by=1與圓x²+y²=$\frac{1}{4}$相交于不同的A，B兩點(diǎn)（其中a，b是實(shí)數(shù)），且|AB|＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則a²+b²-2a的取值范圍為（　�。�

• A． （1，10+4$\sqrt{2}$）
• B． （1，6+3$\sqrt{2}$）
• C． （0，6+3$\sqrt{2}$）
• D． （0，8+4$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 由題意，圓心到直線(xiàn)的距離$\frac{1}{2}$＞d＞$\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{8}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，確定4＜a²+b²＜8，表示以原點(diǎn)為圓心，2，2$\sqrt{2}$為半徑的圓環(huán)．
a²+b²-2a=（a-1）²+b²-1，（a-1）²+b²表示（a，b）與（1，0）的距離的平方，其范圍為（1，（2$\sqrt{2}$+1）²），即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，圓心到直線(xiàn)的距離$\frac{1}{2}$＞d＞$\sqrt{\frac{1}{4}-\frac{1}{8}}$=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$＞$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴4＜a²+b²＜8，
表示以原點(diǎn)為圓心，2，2$\sqrt{2}$為半徑的圓環(huán)．
a²+b²-2a=（a-1）²+b²-1，
（a-1）²+b²表示（a，b）與（1，0）的距離的平方，其范圍為（1，（2$\sqrt{2}$+1）²），
∴a²+b²-2a的取值范圍為（0，8+4$\sqrt{2}$），
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，考查了點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，訓(xùn)練了利用配方法，解答此題的關(guān)鍵在于確定4＜a²+b²＜8，是中檔題．