Question

如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC₁F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC₁=3，BE=1
（Ⅰ）求BF的長；
（Ⅱ）求面AEC₁F與底面ABCD所成二面角的余弦值
（Ⅲ）求點(diǎn)C到平面AEC₁F的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出BF的長．
（II）求出平面AEC₁F的法向量和平面ABCD的法向量，利用向量法能求出面AEC₁F與底面ABCD所成二面角的余弦值．
（Ⅲ）求出平面AEC₁F的法向量和

AC

=（-2，4，0），利用向量法能求出C到平面AEC₁F的距離．

解答： 解：（I）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則D（0，0，0），
B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），
E（2，4，1），C₁（0，4，3），設(shè)F（0，0，z）．
∵AEC₁F為平行四邊形，
∴由AEC₁F為平行四邊形，
∴由

AF

=

EC1

，得（-2，0，z）=（-2，0，2），
∴z=2，∴F（0，0，2），
∴

BF

=（-2，-4，2），
∴|

BF

|=

4+16+4

=2

6

．
（II）設(shè)

n1

=（x，y，z）為平面AEC₁F的法向量，
則

n1 • AE =x+4y+z=0 n1 • AF =-2x+2z=0

，取x=1，得

n1

=（1，-

1

4

，1），
又平面ABCD的法向量

n2

=（0，0，1），
∵cos＜

n1

，

n2

＞=

4 33

33

，
∴面AEC₁F與底面ABCD所成二面角的余弦值為

4 33

33

．（8分）
（Ⅲ）∵平面AEC₁F的法向量

n1

=（1，-

1

4

，1），

AC

=（-2，4，0），
∴C到平面AEC₁F的距離為：
d=

| AC • n1|

| n1 |

=

|-2-1+0|

1+ 1 16 +1

=

4 33

11

．（13分）

點(diǎn)評：本題考查線段長的求法，考查二面角的余弦值的求法，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．