Question

12．設(shè)a，b，c分別是△ABC中角A，B，C的對(duì)邊
（1）若AB邊上的中線CM=AB=2，求a+b的最大值；
（2）若AB邊上的高h(yuǎn)=$\frac{1}{2}c$，求$\frac{a}+\frac{a}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理可得：b²=5-4cos∠CMA，a²=5+4cos∠CMA，可得a²+b²=10，利用基本不等式即可解得$a+b≤2\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}=2\sqrt{5}$，從而得解．
（2）由已知及三角形面積公式可得$\frac{a}+\frac{a}=2（sinC+cosC）=2\sqrt{2}sin（C+\frac{π}{4}）$，又2ab（sinC+cosC）=a²+b²≥2ab，有$1≤sinC+cosC≤\sqrt{2}$，從而得解$\frac{a}+\frac{a}$的取值范圍．

解答 （本題滿分為15分）
解：（1）∵b²=AM²+CM²-2AM•CMcos∠CMA=5-4cos∠CMA，
a²=BM²+CM²-2BM•CMcos∠CMB=5-4cos（π-∠CMA）=5+4cos∠CMA，
∴a²+b²=10，
∴$a+b≤2\sqrt{\frac{{{a^2}+{b^2}}}{2}}=2\sqrt{5}$，
故當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，${（a+b）_{max}}=2\sqrt{5}$，…（8分）
（2）由$S=\frac{1}{2}ch=\frac{1}{2}absinC$，可得c²=2absinC=a²+b²-2abcosC，
解得：2ab（sinC+cosC）=a²+b²，
∴$\frac{a}+\frac{a}=2（sinC+cosC）=2\sqrt{2}sin（C+\frac{π}{4}）$，
又2ab（sinC+cosC）=a²+b²≥2ab，
∴$1≤sinC+cosC≤\sqrt{2}$，
得$\frac{a}+\frac{a}∈[{2，2\sqrt{2}}]$．…（15分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了余弦定理，三角形面積公式，基本不等式的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．