Question

2．已知f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+3x+1，x≥0}\\{-{x^2}+x+2，x＜0}\end{array}}\right.$，則不等式f（2x²-|x|）≤5的解集為[-1，1]．

Answer 1

分析 根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式，判斷函數(shù)的單調(diào)性和取值范圍，結(jié)合一元二次不等式的解法進(jìn)行求解即可．

解答 解：當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x²+x+2=-（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{5}{4}$＜2，且函數(shù)為增函數(shù)，
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x²+3x+1=-（x+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{5}{4}$≥1，且函數(shù)為增函數(shù)，
若2x²-|x|＜0，則不等式f（2x²-|x|）≤5恒成立，
此時(shí)|x|（2|x|-1）＜0，
得0＜|x|＜$\frac{1}{2}$，
若2x²-|x|≥0，即|x|≥$\frac{1}{2}$或|x|≤0，
則不等式f（2x²-|x|）≤5恒成立，
∵f（1）=5，
∴不等式f（2x²-|x|）≤5等價(jià)為f（2x²-|x|）≤f（1），
則2x²-|x|≤1，
即2x²-|x|-1≤0，
得（|x|-1）（2|x|+1）≤0，
則|x|≤1，
∵|x|≥$\frac{1}{2}$或|x|≤0，
∴$\frac{1}{2}$≤|x|≤1或|x|=0，
綜上|x|≤1，
綜上-1≤x≤1，
故答案為：[-1，1]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)分段函數(shù)的表達(dá)式判斷函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合一元二次不等式的解法進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．