Question

4．在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC滿足：∠C=90°，AC=2，BC=1，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點(diǎn)A從原點(diǎn)開(kāi)始在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C隨著在y軸上運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)A在原點(diǎn)時(shí)，求原點(diǎn)O到點(diǎn)B的距離OB；
（2）當(dāng)OA=OC時(shí)，求原點(diǎn)O到點(diǎn)B的距離OB；
（3）求原點(diǎn)O到點(diǎn)B的距離OB的最大值，并確定此時(shí)圖形應(yīng)滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）由題意畫出圖形，直接由三角形中的勾股定理得答案；
（2）結(jié)合圖形，利用余弦定理求解；
（3）取AC中點(diǎn)D，連接OD，BD，則BD=$\sqrt{2}$，OD=1，利用三角形中兩邊之和大于第三邊可得當(dāng)O，D，B共線時(shí)，OB=OD+BD=1+$\sqrt{2}$最大，并進(jìn)一步求得此時(shí)圖形應(yīng)滿足什么條件．

解答 解：（1）當(dāng)A在原點(diǎn)時(shí)，原點(diǎn)O到點(diǎn)B的距離OB=AB=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$；

（2）當(dāng)OA=OC時(shí)，∠OCB=135°，OC=$\frac{\sqrt{2}}{2}AC=\frac{\sqrt{2}}{2}×2=\sqrt{2}$，BC=1，
由余弦定理可得：OB=$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+{1}^{2}-2×1×\sqrt{2}cos135°}$=$\sqrt{3+2}=\sqrt{5}$；

（3）取AC中點(diǎn)D，連接OD，BD，則BD=$\sqrt{2}$，OD=1，
當(dāng)O，D，B不共線時(shí)，OB＜OD+BD=1+$\sqrt{2}$，
當(dāng)O，D，B共線時(shí)，OB=OD+BD=1+$\sqrt{2}$，此時(shí)OB最大，
由CE=CB=1，可知∠CEB=45°，
又OE=CE，可得$∠ACO=\frac{45°}{2}=22.5°$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．