Question

5．已知{a_n}是等差數(shù)列，a₁=2，a₃=18，{b_n}也是等差數(shù)列，a₂-b₂=4，b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃．
（1）求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n的公式．
（2）數(shù)列{a_n}與{b_n}是否有相同的項(xiàng)？若有，在100以?xún)?nèi)有幾個(gè)相同項(xiàng)？若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求出等差數(shù)列{a_n}的公差d和a_n，結(jié)合條件求出等差數(shù)列{b_n}的公差、首項(xiàng)和b_n，利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求出S_n；
（2）假設(shè)數(shù)列{a_n}與{b_n}有相同的項(xiàng)，令8n₁-6=3n₂，由取值范圍求解不定方程，求出相同的項(xiàng)的表達(dá)式，即可求出在100以?xún)?nèi)有幾個(gè)相同項(xiàng)．

解答 解：（1）因?yàn)閍₁=2，a₃=18，所以等差數(shù)列{a_n}的公差d=$\frac{18-2}{3-1}$=8，
則a_n=2+（n-1）×8=8n-6，
因?yàn)閍₂-b₂=4，b₁+b₂+b₃+b₄=a₁+a₂+a₃，
所以b₂=6，b₁+b₂+b₃+b₄=30，
設(shè)等差數(shù)列{b_n}的公差為t，則代入上式得：
$\left\{\begin{array}{l}{_{1}+t=6}\\{3_{1}+5t=24}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{_{1}=3}\\{t=3}\end{array}\right.$，
所以b_n=3+（n-1）×3=3n，S_n=$\frac{n（3+3n）}{2}$=$\frac{3}{2}（{n}^{2}+n）$；
（2）假設(shè)數(shù)列{a_n}與{b_n}有相同的項(xiàng)，
則令8n₁-6=3n₂，n₁、n₂∈N₊，即n₂=$\frac{{8n}_{1}}{3}-2$∈N₊，
所以n₁=3k，k∈N₊，
所以數(shù)列{a_n}與{b_n}有相同的項(xiàng)c_n=24k-6，k∈N₊，
由24k-6≤100得，k≤$\frac{53}{12}$且k∈N₊，共有4個(gè)值，
所以在100以?xún)?nèi)有4個(gè)相同項(xiàng)：18、42、66、90．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，以及不定方程的求解，考出化簡(jiǎn)計(jì)算能力，屬于中檔題．