Question

15．設(shè)二次函數(shù)f（x）=x²-ax+2（x∈R，a＜0），關(guān)于x的不等式f（x）≤0的解集有且只有一個(gè)元素．
（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=f（n）（n∈N^*），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）記b_n=$\frac{f（n）-2}{n}$（n∈N^*），則數(shù)列{b_n}中是否存在不同的三項(xiàng)能組成等比數(shù)列？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題設(shè)條件知a²-4×2=0⇒a=-2$\sqrt{2}$，故f（x）=（x+$\sqrt{2}$）²．a(chǎn)_n=S_n-S_n-1=2n+2$\sqrt{2}$-1，所以a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3+2\sqrt{2}，（n=1）}\\{2n+2\sqrt{2}-1，（n≥2且n∈{N}^{+}）}\end{array}\right.$．  
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，假設(shè)數(shù)列{b_n}中存在不同的三項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，建立等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵關(guān)于x的不等式f（x）≤0的解集有且只有一個(gè)元素，
∴二次函數(shù)f（x）=x²-ax+2（x∈R，a＜0）的圖象與x軸相切，
則△=（-a）²-4×2=0，
∵a＜0，
∴a=-2$\sqrt{2}$．
∴f（x）=x²+2$\sqrt{2}$x+2=（x+$\sqrt{2}$）²，
∴數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=（n+$\sqrt{2}$）²（n∈N^*）．         
于是，當(dāng)n≥2，n∈N^*時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（n+$\sqrt{2}$）²-[（n-1）+$\sqrt{2}$]²=2n+2$\sqrt{2}$-1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=（1+$\sqrt{2}$）²=3+2$\sqrt{2}$，不適合上式．
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3+2\sqrt{2}，（n=1）}\\{2n+2\sqrt{2}-1，（n≥2且n∈{N}^{+}）}\end{array}\right.$．           
（2）由（1）知，S_n=n²+2$\sqrt{2}$n+2（n∈N^*）．         
∵b_n=$\frac{f（n）-2}{n}$，
∴b_n=$\frac{f（n）-2}{n}$=$\frac{{n}^{2}+2\sqrt{2}n+2-2}{n}$=n+2$\sqrt{2}$．
假設(shè)數(shù)列{b_n}中存在三項(xiàng)b_p，b_q，b_r（正整數(shù)p，q，r互不相等）成等比數(shù)列，則b_q²=b_p•b_r，
即（q+2$\sqrt{2}$）²=（p+2$\sqrt{2}$）（r+2$\sqrt{2}$），
整理，得
（pr-q）²+2$\sqrt{2}$（p+r-2q）=0．  
因?yàn)閜，q，r都是正整數(shù)，所以$\left\{\begin{array}{l}{pr-q=0}\\{p+r-2q=0}\end{array}\right.$，
于是pr-（$\frac{p+r}{2}$）²=0，即（p-r）²=0，從而p=r與p≠r矛盾．
故數(shù)列{b_n}中不存在不同的三項(xiàng)能組成等比數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求解及等比數(shù)列性質(zhì)的研究．第（1）問(wèn)由不等式f（x）≤0的解集有且只有一個(gè)元素，得到S_n=f（n），然后由此求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，由S_n求通項(xiàng)a_n時(shí)注意檢驗(yàn)初始項(xiàng)a₁是否滿足；第（2）問(wèn)判斷數(shù)列{b_n}中是否存在不同的三項(xiàng)能組成等比數(shù)列，基本方法是先假設(shè)它們成等比數(shù)列，再證明問(wèn)題是否有解．