Question

18．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{m+1}{2}$x²+x，g（x）=$\frac{1}{3}$-（m-1）x，m∈R．
（Ⅰ）若f（x）在x=1取得極值，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）若f（x）在區(qū)間（$\frac{1}{2}$，+∞）上為增函數(shù)，求m的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，假設(shè)f（2），f′（2），求出切線方程即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為$m+1≤x+\frac{1}{x}$在區(qū)間$（{\frac{1}{2}，+∞}）$上恒成立，求出x+$\frac{1}{x}$的最小值，解關(guān)于m的不等式即可求出m的范圍；
（Ⅲ）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，得到h（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（Ⅰ） f'（x）=x²-（m+1）x+1，
又∵函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，
∴f'（1）=1-（m+1）+1=0，∴m=1，
∴$f（2）=\frac{2}{3}$，f'（2）=1，
∴曲線y=f（x）在（2，f（2））處的切線方程為：
$y-\frac{2}{3}=x-2$，即：3x-3y-4=0；
（Ⅱ） f'（x）=x²-（m+1）x+1，
∵f（x）在區(qū)間$（{\frac{1}{2}，+∞}）$上為增函數(shù)，
∴x²-（m+1）x+1≥0，
∴$m+1≤x+\frac{1}{x}$在區(qū)間$（{\frac{1}{2}，+∞}）$上恒成立，
∵當$x＞\frac{1}{2}$時，$x+\frac{1}{x}≥2$，當且僅當x=1時取得最小值，
∴m+1≤2，即m≤1；
（Ⅲ）$h（x）=f（x）-g（x）=\frac{1}{3}{x^3}-\frac{m+1}{2}{x^2}+mx-\frac{1}{3}$，
∴h'（x）=x²-（m+1）x+m=（x-1）（x-m），
令h'（x）=0，得x=m或x=1，
當m=1時，h'（x）=（x-1）²≥0，
∴h（x）在R上是增函數(shù)，無極值，
當m＜1時，h（x），h'（x）隨x的變化情況如下表：

x	（-∞，m）	m	（m，1）	1	（1，+∞）
h'（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

∴函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，m）和（1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（m，1），
故當x=m時，函數(shù)h（x）取得極大值，極大值為$-\frac{1}{6}{m^3}+\frac{1}{2}{m^2}-\frac{1}{3}$；
當x=1時，函數(shù)h（x）取得極小值，極小值為$\frac{m-1}{2}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．