Question

18．設(shè)△ABC內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且a=bcosC+$\sqrt{3}$csinB．
（1）若a²sinC=4$\sqrt{3}$sinA，求△ABC的面積；
（2）若a=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{7}$，且c＞b，BC邊的中點(diǎn)為D，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式變形，求出tanB的值，由B為內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值可求出B的度數(shù)，由正弦定理化簡(jiǎn)已知可得ac的值，利用三角形面積公式即可得解．
（2）由余弦定理整理可得：c²-6c+5=0，從而解得c的值，在△ABD中，由余弦定理即可求得AD的值．

解答 解：（1）∵a=bcosC+$\sqrt{3}$csinB．
∴由正弦定理得：sinA=sinBcosC+$\sqrt{3}$sinBsinC①，
∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②，
∴$\sqrt{3}$sinB=cosB，即tanB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵B為三角形的內(nèi)角，
∴B=$\frac{π}{6}$，
∵a²sinC=4$\sqrt{3}$sinA，由正弦定理可得：a²c=4$\sqrt{3}$a，可得：ac=4$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$．
（2）∵由（1）可得：B=$\frac{π}{6}$，又a=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{7}$，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，可得：7=c²+12-2×$2\sqrt{3}×c×\frac{\sqrt{3}}{2}$，
整理可得：c²-6c+5=0，
∴解得：c=5，或1（由c＞b，舍去），
∵BC邊的中點(diǎn)為D，
∴在△ABD中，由余弦定理可得：
AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}-2AB•BD•cosB}$=$\sqrt{25+3-2×5×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式在解三角形中的應(yīng)用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．