Question

10．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$．n∈N₊，猜想這個數(shù)列的通項公式，試證明這個猜想．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$．n∈N₊，∴a₂=$\frac{2{a}_{1}}{2+{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，同理可得：a₃=$\frac{2}{4}$，a₄=$\frac{2}{5}$，…．猜想a_n=$\frac{2}{n+1}$．由a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$．n∈N₊，兩邊取倒數(shù)可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，再利用等差數(shù)列的通項公式即可證明．

解答 解：a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$．n∈N₊，
∴a₂=$\frac{2{a}_{1}}{2+{a}_{1}}$=$\frac{2}{3}$，同理可得：a₃=$\frac{2}{4}$，a₄=$\frac{2}{5}$，…．
猜想a_n=$\frac{2}{n+1}$．
證明：∵a₁=1，a_n+1=$\frac{2{a}_{n}}{2+{a}_{n}}$．n∈N₊，兩邊取倒數(shù)可得：
$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴數(shù)列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差數(shù)列，首項為1，公差為$\frac{1}{2}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n+1}{2}$，解得a_n=$\frac{2}{n+1}$．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推關(guān)系、等差數(shù)列的定義通項公式、猜想能力，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．