Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，且PD=AB=2a，E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，求證：EF⊥平面PCB．

Answer 1

分析 取BC的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，通過(guò)BC⊥面EFG證明BC⊥EF；
取PC的中點(diǎn)H，連接DH，EH，通過(guò)證明EF∥DH得出EF⊥PC；
從而證明EF⊥平面PCB．

解答 證明：因?yàn)镻D⊥底面ABCD，
且ABCD是正方形，所以BC⊥DC，
所以PC⊥BC；
設(shè)BC的中點(diǎn)為G，
連接EG，F(xiàn)G，如圖所示；
則EG∥PC，F(xiàn)G∥DC，
所以BC⊥EG，BC⊥FG；
因?yàn)镋G∩FG=G，所以BC⊥面EFG；
因?yàn)镋F?面EFG，所以BC⊥EF；①
又設(shè)PC的中點(diǎn)為H，且E為PB中點(diǎn)，連接DH，
所以EH∥BC，且EH=$\frac{1}{2}$BC；
又BC∥AD，且BC=AD，
∴EH∥AD，且EH=$\frac{1}{2}$AD；
所以四邊形EHDF是平行四邊形，
所以EF∥DH；
因?yàn)榈妊�直角△PDC中，H為底邊PC的中點(diǎn)，
所以DH⊥PC，即EF⊥PC；②
因?yàn)镻C∩BC=C，③
由①②③知EF⊥平面PCB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的證明問(wèn)題，考查了空間想象能力與邏輯推理能力，是中檔題目．