Question

2．已知命題p：?x∈[1，2]，$\sqrt{3}$x²-a≥0，命題q：?x∈[1，3]，使x²-2ax+2=0，若命題p∧q是真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 根據(jù)二次函數(shù)的最值，一元二次方程解的情況即可求出命題p，q下a的取值范圍，再根據(jù)p∧q為真命題得到p，q都為真命題，所以對(duì)前面所求a的取值范圍求交集即可．

解答 解：命題p：若?x∈[1，2]，$\sqrt{3}$x²-a≥0，
只需a≤$\sqrt{3}$x²，x∈[1，2]
y=x²在[1，2]上的最小值為1，∴a≤$\sqrt{3}$；
命題q：?x∈[1，3]，使x²-2ax+2=0，
即方程x²-2ax+2=0在[1，3]上有解，
即2ax=x²+2在[1，3]有解，
即y=2ax和y=x²+2在[1，3]有交點(diǎn)，
畫(huà)出函數(shù)y=2ax和y=x²+2的圖象，如圖示：
，
顯然A（1，3），B（3，11），
當(dāng)a＜0時(shí)：兩個(gè)函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn)，
a＞0時(shí)：當(dāng)y=2ax過(guò)A（1，3）時(shí)：a=$\frac{3}{2}$，
當(dāng)y=2ax過(guò)B（3，11）時(shí)：a=$\frac{11}{6}$，
∴$\frac{3}{2}$≤a≤$\frac{11}{6}$時(shí)函數(shù)圖象有交點(diǎn)，
即：?x∈[1，3]，使x²-2ax+2=0成立，
若命題p∧q是真命題，則p，q都是真命題；
∴$\frac{3}{2}$≤a≤$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了充分必要條件，考查二次函數(shù)的性質(zhì)以及p∧q的真假和p，q真假的關(guān)系．