6.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=$\frac{1}{3}$AD,過(guò)BC的平面交PD于M,交PA于N(N與A不重合).
(1)求證:MN∥BC;
(2)若PM=$\frac{1}{3}$PD,求證:AC⊥BM.

分析 (1)根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理即可證明MN∥BC;
(2)取AE=$\frac{1}{3}$AD,根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理證明AC⊥BM.

解答 證明:(1)∵BC∥AD,BC?平面PAD,AD?平面PAD,
∴BC∥平面PAD,
∵平面PAD∩平面BCMN=MN,
∴BC∥MN,即MN∥BC;
(2)取AE=$\frac{1}{3}$AD,則ME∥PA,AE=AB.
∵PA⊥底面ABCD,
∴ME⊥底面ABCD,∴ME⊥AC,
∵BC∥AD,AB⊥AD,
∴ABCE是正方形,
∴AC⊥BE,
∵M(jìn)E∩BE=E,
∴AC⊥平面MBE,
∵BM?平面MBE,
∴AC⊥BM.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線(xiàn)面垂直和線(xiàn)面平行的判定和性質(zhì),綜合考查空間直線(xiàn)和平面的位置關(guān)系的判定,要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理,考查學(xué)生的運(yùn)算和推理能力.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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附:K2=$\frac{n(ad-bc)^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ 
 P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001
 k 3.841 6.63510.828
加油類(lèi)型
汽車(chē)排量
 小排量 大排量
 92號(hào) 160 96
 95號(hào) 2024
(1)根據(jù)此次調(diào)查,是否有95%的把握認(rèn)為該網(wǎng)站會(huì)員給汽車(chē)加油時(shí)進(jìn)行的型號(hào)選擇與汽車(chē)排量有關(guān)?
(2)將上述調(diào)查的頻率視為概率,從該網(wǎng)站所有會(huì)員(數(shù)量最多)的“小排量汽車(chē)”和“大排量汽車(chē)”中分別抽出2輛,記X表示抽取的4輛中加95號(hào)汽油的車(chē)輛數(shù),求X的分布列和期望.

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