Question

6．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=$\frac{1}{3}$AD，過BC的平面交PD于M，交PA于N（N與A不重合）．
（1）求證：MN∥BC；
（2）若PM=$\frac{1}{3}$PD，求證：AC⊥BM．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可證明MN∥BC；
（2）取AE=$\frac{1}{3}$AD，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明AC⊥BM．

解答 證明：（1）∵BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，
∴BC∥平面PAD，
∵平面PAD∩平面BCMN=MN，
∴BC∥MN，即MN∥BC；
（2）取AE=$\frac{1}{3}$AD，則ME∥PA，AE=AB．
∵PA⊥底面ABCD，
∴ME⊥底面ABCD，∴ME⊥AC，
∵BC∥AD，AB⊥AD，
∴ABCE是正方形，
∴AC⊥BE，
∵ME∩BE=E，
∴AC⊥平面MBE，
∵BM?平面MBE，
∴AC⊥BM．

點評 本題主要考查線面垂直和線面平行的判定和性質(zhì)，綜合考查空間直線和平面的位置關系的判定，要求熟練掌握相應的判定定理和性質(zhì)定理，考查學生的運算和推理能力．