Question

16．已知函數(shù)f（x）=（x+1）ln（x+1）-xlnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）試討論函數(shù)g（x）=f（x）-a（x+1）的零點個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先求函數(shù)的定義域，然后對原函數(shù)求導，利用導數(shù)的符號確定原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值情況，然后根據(jù)單調(diào)性、極值的符號確定函數(shù)的圖象與x軸交點的情況，從而確定函數(shù)的零點個數(shù)．

解答 解：（1）顯然函數(shù)f（x）得定義域為（0，∞）．
易知f′（x）=1+ln（x+1）-1-lnx=$ln（1+\frac{1}{x}）＞0$．
所以原函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）g（x）=（x+1）ln（x+1）-xlnx-a（x+1）
易知函數(shù)g（x）的定義域為（0，+∞）．
g′（x）=$ln（1+\frac{1}{x}）-a$
①若a≤0，顯然g′（x）＞0，g（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
且當x→0時，g（x）→0⁺，故此時g（x）不存在零點；
②如果a＞0，則$x=\frac{1}{{e}^{a}-1}$時，g′（x）=0．
而$（g′（x））′=\frac{-\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{x}}＜0$，所以g′（x）在（0，+∞）上遞減，
故當$x∈（0，\frac{1}{{e}^{a}-1}）$時，g′（x）＞0，g（x）此時是增函數(shù)；
當x$∈（\frac{1}{{e}^{a}-1}，+∞）$時，g′（x）＜0，故此時g（x）是減函數(shù)．
所以g（x）_極大=$g（\frac{1}{{e}^{a}-1}）$=ln$\frac{1}{{e}^{a}-1}$，
所以當g（x）_極大＜0時，原函數(shù)沒有零點；
當g（x）_極大=0時，原函數(shù)只有一個零點；
當g（x）_極大＞0時，原函數(shù)有兩個零點．

點評 本題主要是考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值的基本思路，并在此基礎上進一步借助于函數(shù)的圖象研究函數(shù)的零點的性質(zhì)，是一種常見題型．