Question

16．已知函數(shù)f（x）=（x+1）ln（x+1）-xlnx．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）試討論函數(shù)g（x）=f（x）-a（x+1）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （1）先求函數(shù)的定義域，然后對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值情況，然后根據(jù)單調(diào)性、極值的符號(hào)確定函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的情況，從而確定函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答 解：（1）顯然函數(shù)f（x）得定義域?yàn)椋?，∞）．
易知f′（x）=1+ln（x+1）-1-lnx=$ln（1+\frac{1}{x}）＞0$．
所以原函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）g（x）=（x+1）ln（x+1）-xlnx-a（x+1）
易知函數(shù)g（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．
g′（x）=$ln（1+\frac{1}{x}）-a$
①若a≤0，顯然g′（x）＞0，g（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
且當(dāng)x→0時(shí)，g（x）→0⁺，故此時(shí)g（x）不存在零點(diǎn)；
②如果a＞0，則$x=\frac{1}{{e}^{a}-1}$時(shí)，g′（x）=0．
而$（g′（x））′=\frac{-\frac{1}{{x}^{2}}}{1+\frac{1}{x}}＜0$，所以g′（x）在（0，+∞）上遞減，
故當(dāng)$x∈（0，\frac{1}{{e}^{a}-1}）$時(shí)，g′（x）＞0，g（x）此時(shí)是增函數(shù)；
當(dāng)x$∈（\frac{1}{{e}^{a}-1}，+∞）$時(shí)，g′（x）＜0，故此時(shí)g（x）是減函數(shù)．
所以g（x）_極大=$g（\frac{1}{{e}^{a}-1}）$=ln$\frac{1}{{e}^{a}-1}$，
所以當(dāng)g（x）_極大＜0時(shí)，原函數(shù)沒有零點(diǎn)；
當(dāng)g（x）_極大=0時(shí)，原函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)g（x）_極大＞0時(shí)，原函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題主要是考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值的基本思路，并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步借助于函數(shù)的圖象研究函數(shù)的零點(diǎn)的性質(zhì)，是一種常見題型．