Question

4．（1）過點P（0，1）作直線l使它被直線l₁：2x+y-8=0和l₂：x-3y+10=0截得的線段被點P平分，求直線l的方程．
（2）光線沿直線l₁：x-2y+5=0射入，遇直線l：3x-2y+7=0后反射，求反射光線所在的直線方程．

Answer 1

分析 （1）設l與l₁的交點為A（a，8-2a），則根據(jù)點A關(guān)于點P的對稱點B（-a，2a-6）在l₂上，求得a的值．再根據(jù)再根據(jù)點A、P的坐標，用兩點式求得直線l的方程．
（2）先求得反射點M的坐標，在直線l₁上取一點N（-5，0），設點N關(guān)于直線l：3x-2y+7=0的對稱點K，求得K的坐標，用兩點式求得反射光線所在的直線（即直線MK）的方程．

解答 解：（1）過點P（0，1）作直線l使它被直線l₁：2x+y-8=0和l₂：x-3y+10=0截得的線段被點P平分，
設l與l₁的交點為A（a，8-2a），則點A關(guān)于點P的對稱點B（-a，2a-6）在l₂上，
∴-a-3（2a-6）+10=0，求得a=4，故A（4，0）．
再根據(jù)點A、P的坐標，求得直線l的方程為$\frac{y-1}{0-1}$=$\frac{x-0}{4-0}$，即x+4y-4=0．
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+5=0}\\{3x-2y+7=0}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$，可得反射點M（-1，2）．
在直線l₁：x-2y+5=0上取一點N（-5，0），設點N關(guān)于直線l：3x-2y+7=0的對稱點K（b，c），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{b+5}•\frac{3}{2}=-1}\\{3•\frac{b-5}{2}-2•\frac{c}{2}+7=0}\end{array}\right.$，求得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{17}{13}}\\{c=-\frac{32}{13}}\end{array}\right.$，可得點K（-$\frac{17}{13}$，-$\frac{32}{13}$），且點K在反射光線所在的直線上．
再根據(jù)點M、K的坐標，利用兩點式求得反射光線所在的直線方程為$\frac{y+\frac{32}{13}}{2-（-\frac{32}{13}）}$=$\frac{x+\frac{17}{13}}{-1+\frac{17}{13}}$，
化簡為29x-2y+33=0．

點評 本題主要考查反射定理的應用，用兩點式求直線的方程，求一個點關(guān)于直線的對稱點的坐標，屬于中檔題．