Question

3．在平面直角坐標(biāo)系中，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（cosωx，sinωx），其中ω＞0．設(shè)f（x）=$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$．
（Ⅰ）記函數(shù)y=f（x）的正的零點(diǎn)從小到大構(gòu)成數(shù)列{a_n}（n∈N^*），當(dāng)a=$\sqrt{3}$，b=1，ω=2時(shí)，求{a_n}的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）記函數(shù)g（x）=2^x，且g（b）=g（a）•g（-2）．當(dāng)x∈R時(shí)，設(shè)f（x）的值域?yàn)镸，不等式x²+mx＜0的解集為N，若N⊆M，求實(shí)數(shù)m的最大值；
（Ⅲ）令ω=1，a=t²，b=（1-t）²，若不等式f（θ）-$\sqrt{ab}$＞0對(duì)任意的t∈[0，1]恒成立，求θ的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到f（x）的解析式并進(jìn)行化簡，得到函數(shù)y=f（x）的正的零點(diǎn)用k表示，由題意得到數(shù)列{a_n}（n∈N^*）的首項(xiàng)和公差，然后求{a_n}的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）由題意分別表示出f（x）的值域以及不等式的解集，利用N⊆M，列出不等式解得實(shí)數(shù)m的最大值；
（Ⅲ）由題意得到f（θ）-$\sqrt{ab}$＞0，進(jìn)一步得到關(guān)于θ的不等式恒成立，找到等價(jià)條件化簡．

解答 解：（Ⅰ）由題得$f（x）=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=acosωx+bsinωx$=$\sqrt{3}cos2x+sin2x$=$2sin（2x+\frac{π}{3}）$．…（1分）
由$2sin（2x+\frac{π}{3}）=0⇒2x+\frac{π}{3}=kπ⇒{x_k}=-\frac{π}{6}+\frac{kπ}{2}，k∈Z$．…（2分）
當(dāng)k=1時(shí)${x_1}=-\frac{π}{6}+\frac{π}{2}=\frac{π}{3}＞0$，且${x_{k+1}}-{x_k}=\frac{π}{2}$（常數(shù)），
∴{a_n}為首項(xiàng)是${a_1}=\frac{π}{3}$，公差為$\frac{π}{2}$的等差數(shù)列．
∴${a_n}=-\frac{π}{6}+\frac{nπ}{2}，n∈{N^*}$．…（3分）
∴${S_n}=\frac{{（{a_1}+{a_n}）n}}{2}=\frac{{（\frac{π}{3}-\frac{π}{6}+\frac{nπ}{2}）n}}{2}=（\frac{π}{12}+\frac{nπ}{4}）n=\frac{π}{4}{n^2}+\frac{π}{12}n，n∈{N^*}$．…（4分）
（Ⅱ） 由g（a）=g（b）+g（-2）得2^a=2^b×2^-2⇒2^a=2^b-2⇒b=a+2．…（5分）
∵$f（x）=acosωx+bsinωx=\sqrt{{{（a+2）}^2}+{a^2}}sin（ωx+φ）$，
∴f（x）的值域?yàn)?M=[{-\sqrt{{{（a+2）}^2}+{a^2}}，\sqrt{{{（a+2）}^2}+{a^2}}}]$．…（6分）
∵x²+mx=0的解為0或-m，∴N=[-m，0]或N=[0，-m]．
∴要使得N⊆M，須$-m∈[{-\sqrt{{{（a+2）}^2}+{a^2}}，\sqrt{{{（a+2）}^2}+{a^2}}}]$．…（7分）
∵$\sqrt{{{（a+2）}^2}+{a^2}}=\sqrt{2{{（a+1）}^2}+2}≥\sqrt{2}$，∴$M=[{-\sqrt{2}，\sqrt{2}}]$．
∴$-\sqrt{2}≤-m≤\sqrt{2}$，即$-\sqrt{2}≤m≤\sqrt{2}$．
∴實(shí)數(shù)m的最大值為$\sqrt{2}$．…（8分）
（Ⅲ）由題得$f（θ）-\sqrt{ab}$=t²cosθ+（1-t）²sinθ-t（1-t）=（1+sinθ+cosθ）t²-（2sinθ+1）t+sinθ
∴題意等價(jià)于（1+sinθ+cosθ）t²-（2sinθ+1）t+sinθ＞0對(duì)任意的t∈[0，1]恒成立．
令t=0，t=1，得sinθ＞0，cosθ＞0．…（9分）
∵1+2sinθ＜2+2sinθ+2cosθ，
∴對(duì)稱軸$t=\frac{1+2sinθ}{2+2sinθ+2cosθ}＜1$恒成立．
∴對(duì)稱軸落在區(qū)間（0，1）內(nèi)．…（10分）
∴題意等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}sinθ＞0\\ cosθ＞0\\△={（2sinθ+1）^2}-4（1+sinθ+cosθ）sinθ＜0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}sinθ＞0\\ cosθ＞0\\ sin2θ＞\frac{1}{2}\end{array}\right.$．…（11分）
$⇒\left\{\begin{array}{l}2{k_1}π＜θ＜π+2{k_1}π，{k_1}∈z\\-\frac{π}{2}+2{k_2}π＜θ＜\frac{π}{2}+2{k_2}π，{k_2}∈z\\ \frac{π}{12}+{k_3}π＜θ＜\frac{5π}{12}+{k_3}π，{k_3}∈z\end{array}\right.$$⇒\frac{π}{12}+2{k_3}π＜θ＜\frac{5π}{12}+2{k_3}π，{k_3}∈z$．
∴θ的取值范圍是$[{\frac{π}{12}+2kπ，\frac{5π}{12}+2kπ}]，k∈z$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算等差數(shù)列的通項(xiàng)，前n項(xiàng)和的求法以及關(guān)于三角函數(shù)的不等式恒成立問題；屬于難題．